Осевое преобразование

Картинка по запросу "pivot step"

Осевое преобразование матрицы - очень простое. Пусть дана матрица A
$A = \left( \begin{array}{ccccc} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & a & \ldots & b & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & c & \ldots & d & \ldots \end{array} \right)$
Операция осевого преобразования c осевым элементом a (англ. pivot step) превращает её в следующую матрицу A₁
$A_1 = \left( \begin{array}{ccccc} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & 1/a & \ldots & b/a & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & - \frac{c}{a} & \ldots & d - \frac{bc}{a} & \ldots \end{array} \right)$
Строка и столбец матрицы, на которых расположен элемент a называются осевыми строкой и столбцом.
Пошаговое осевое преобразование по главной диагонали используется для получения матрицы идентичности. Это нужно, например, для вычисления обратной матрицы.
В случае больших разреженных матриц имеет смысл задавать матрицу в виде двусвязанных ортогональных списков. Моя реализация алгоритма осевого преобразования на Java работает с матрицами такого вида из предыдущего поста. Мне понравился алгоритм вставки элементов в произвольное место такой матрицы. Он получился красивым, черт возьми. Там ведь по сути идет работа с двумя замкнутыми кольцами из односвязных элементов, в котором мы по определенному правилу меняем связи.
Весь проект для Eclipse (матрица, генератор матриц, алгоритм) можно скачать в ZIP архиве.