Пусть дано множество V, для элементов которого задана операция сложения a+b, и умножения на число, alpha * a, которые не выводят за пределы этого множества.
Множество V называется линейным пространством, если выполнены условия:
1) a + b = b + a
2) a + (b + c) = (a + b) + c
3) существует 0 из V: a + 0 = a
4) существует -a: a + (-a) = 0
5) alpha (a + b) = alpha*a + alpha*b
6) (alpha + beta) * a = alpha * a + beta * a
7) alpha*(ab) = (alpha*a)*b
8) 1*a = a
Два пространства V и V' называются изоморфными, если каждому элементу a из V единственным образом поставлен в соответствие его образ a' из V' и выполняются следующие равенства:
1) (a+b)' = a' + b' образ суммы равен сумме образов
2) (alpha * a)' = alpha * a'
Если два линейных пространства V и V' изоморфны, то система a1, a2, ... ,ak из V линейно зависима тогда и только тогда, когда линейна зависима система образов a1', a2', ...., ak'
Следствием отсюда является утверждение, что система векторов {a} из пространства V линейно независима, когда линейно независима система её образов из некоторого изоморфного V пространства V'.
Базой линейного пространства называется максимальная линейно независимая система векторов этого пространства.
Из определения линейно независимой системы векторов следует, что каждое линейное пространство обладающее базой из n векторов изоморфно n-мерному линейному векторному пространству.
Из трех утверждений выше следует, что при изоморфном переходе база переходит в базу.
В n-мерном линейном пространстве существует баз столько, сколько существует различных невырожденных квадратных матриц порядка n.
Комментариев нет:
Отправить комментарий