Система векторов линейно выражается через другую систему векторов, если каждый её вектор является линейной комбинацией векторов другой системы.
Две системы n-мерных векторов называются эквивалентными, если каждая из них линейно выражается через другую.
Если в n-мерном векторном пространстве даны две системы векторов размерности r и s, и первая из них линейно независима и линейно выражается через вторую, то число векторов в ней не больше чем во второй, т.е. r<=s.
Две системы векторов называются эквивалентными если каждая из них линейно выражается через другую.
Всякие две эквивалентные между собой линейно независимые системы векторов содержат равное число векторов.
Любые две максимальные линейно независимые системы n-мерных векторов эквивалентны. Возьмем в n-мерном пространстве систему векторов, состоящую из двух любых макимальных линейно независимых систем векторов. Получим, по определению максммальной линейно независимой системы, что каждый вектор второй системы выражается из первой системы. И наоборот. Утверждение доказано.
Поэтому, в n-мерном векторном пространстве все максимальные линейно независимые системы векторов имеют размерность n.
Если в данной линейно зависимой системе векторов есть две максимальные линейно независимые системы векторов, то они содержат равное число векторов.
Если в данной линейно зависимой системе векторов содержатся две максимальные линейно независимые системы векторов, то они содержат равное число векторов.
Рангом системы векторов называется число векторов, входящих в максимальную линейно независимую подсистему векторов этой систему.
Пусть в n-мерном векторном пространстве дано две системы векторов a и b, необязательно линейно независимых, ранги которых k и l соответственно. Если a линейно выражается из b, то k<=l, если эти системы эквивалентны, то k=l.